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Reduzierte Masse - Erklärung

Autor: Roswitha Gladel
Die reduziertes Masse ist eine Ersatzmasse für beiden Massen.
Die reduziertes Masse ist eine Ersatzmasse für beiden Massen.
Die reduzierte Masse spielt immer dann eine Rolle, wenn es um die Analyse von Bewegungen geht, die von zwei Teilchen, die sich umeinander bewegen, ausgeführt werden. Mit diesem Gedankenmodell können Sie diese beide Teilchen durch ein fiktives ersetzen. Die Herleitung der Formel ist recht einfach.

Ermittlung der reduzierten Masse

Stellen Sie sich eine Hantel vor, bei der die Hantelstange die Länge r0 hat. Auf der einen Seite ist die Masse m1 und auf der anderen eine von m2 angebracht. Die sie Stange rotiert dabei um den Schwerpunkt.

  1. Der Schwerpunkt hat von der m1 den Abstand r1 und von m2 einen von r2. Nach den Hebelgesetzen gilt m1r1 = m2r2.
  2. Außerdem ist r0 = r1 + r2, also gilt r2 = r0 - r1. Setzen Sie das in m1r1 = m2r2 ein. Sie erhalten m1r1 = m2(r0 - r1).
  3. Lösen Sie m1r1 = m2(r0 - r1) nach r1 auf. m1r1 = m2r0 -  m2 r1 => m1r1 + m2 r1 = m2r0 => r1 (m1 + m2) = m2r0 => r1 = m2r0/(m1 + m2). Äquivalent gilt natürlich r2 = m1r0/(m1 + m2).
  4. Betrachten Sie nun das Trägheitsmoment der Rotation um den Schwerpunkt. Dieses setzt sich aus den beiden Trägheitsmomenten zusammen. Es ist also das Trägheitsmoment der Masse m1 im Abstand r1 vom Schwerpunkt plus dem von m2 im Abstand r2. Es gilt also I = m1r12 + m2r22.
  5. Da nach den bisherigen Ausführungen m1r1 = m2r2 und I = m1r12 + m2r22 = m1r1 r1 + m2r2 r 2 ist, gilt auch I = m2r2r1 + m1r1r2.
  6. Klammern Sie aus diesem Ausdruck r1r2 aus. I = r1r2 (m1+m2).
  7. Verwenden Sie die Erkenntnisse aus Punkt 3: r1 = m2r0/(m1 + m2) und r2 = m1r0/(m1 + m2) in der Gleichung aus Punkt 6:  I = r1r2 (m1+m2). Sie erhalten I = m2r0 m1r0(m1 + m2) /(m1 + m2)2 = r0 * m1m2/(m1 + m2).

Sie können also statt der beiden Massen m1 und m2 eine reduziere Masse mü betrachten, die sich so errechnet m1m2/(m1 + m2).

Anwendung in der Praxis

  • In der Praxis dient die reduzierte Masse dazu die Bewegungen von zwei Massen, die sich relativ zueinander bewegen, durch eine Masse zu ersetzen. So können Bewegungen von Molekülen oder auch von Planeten als eine Bahnkurve beschrieben werden, statt dass die zwei Kurven der einzelnen Teile beschrieben werden.
  • Dabei kommt es oft vor, dass eine Masse im Verhältnis zur anderen sehr groß ist. Was das bedeutet, können Sie sich so verdeutlichen: Setzen Sie m2 = 1.000 m1. Dann gilt m11000m1/(m1 + 1000m1) = 1000 m12/ 1001 m1. Die reduzierte Masse ist dann also annähernd so groß wie die kleinere der beiden Massen.
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