Wurzel mal Wurzel hebt sich auf - eine Erklärung

Wurzel mal Wurzel - die Regeln

Tatsächlich gibt es für die Multiplikation von Wurzeln einige Regeln, die Sie beim Umgang mit diesem algebraischen Thema beachten müssen:

• Vielfach lassen sich bei Ausdrücken der Form "Wurzel mal Wurzel" die Multiplikationen durchführen. Dazu können Sie oft die entstandene Wurzel vereinfachen.
• So gilt immer (!) die Regel √a * √b = √ a * b. Im Klartext: Sollen Sie zwei unterschiedliche Wurzeln multiplizieren, dann können Sie die beiden Wurzelinhalte (hier durch a und b symbolisiert) miteinander malnehmen und das Ergebnis unter eine gemeinsame Wurzel schreiben. Hier dürfen die Platzhalter a und b nicht nur Zahlen sein, sondern auch komplizierte algebraische Terme (wie die Beispiele unten zeigen).
• Der Sonderfall, auf dem die Redewendung "Wurzel mal Wurzel hebt sich auf" beruht, tritt ein, wenn unter beiden Wurzelteilen der gleiche Term steht. Formell haben Sie eine Rechnung der Form √a * √a. Warum sich gerade hier die Wurzel aufhebt, zeigt sich, wenn Sie die Rechenregel anwenden. Sie erhalten √a * √a = √ a * a = √a² = a, denn Wurzelziehen und Quadrieren sind gegensätzliche Rechenoperationen und heben sich (umgangssprachlich formuliert) tatsächlich auf.

Die Wurzel "hebt sich auf"? - Beispiele

Die trockenen Rechenregeln sollen an Beispielen erläutert werden:

• So gilt √3 * √3 = 3, weil √9 = 3. Hier heben sich die 
  Wurzeln auf. Und dies gilt auch für Aufgaben beispielsweise der Form √a-b * √a-b= a-b. Wichtig ist, dass es sich in beiden Fällen um die gleichen Inhalte der Wurzeln handelt, egal, wie diese mathematisch aussehen.
• Bei der Aufgabe √3 * √7 = √21 gilt dies jedoch nicht. Sie haben unterschiedliche Wurzelinhalte; die Wurzel kann nicht weiter vereinfacht werden.
• Im Beispiel √ab * √bc = √ab²c = b * √ac können Sie die Wurzel nach erfolgter Multiplikation teilweise ziehen, nämlich aus b².
• Doch Vorsicht! Bei der Aufgabe √a+b * √a-b = √a² -b², die zunächst der dritten binomischen Formel folgt, dürfen Sie aus der Differenz der beiden Quadrate nicht die Wurzel ziehen.

Sie sehen: "Wurzel mal Wurzel hebt sich auf" gilt also nur dann, wenn die beiden Wurzelinhalte (also die Terme unter den Wurzeln) gleich sind.