Näherungswerte finden mit dem Einheitskreis

Prinzip des Einheitskreises

• Der Einheitskreis ist ein Kreis, der den Radius 1 hat. Beachten Sie, dass dabei keine Längeneinheit genannt ist. In der Praxis macht es Sinn die Länge einer Einheit als 10 cm zu definieren.
• Der Einheitskreis wird meisten um den Ursprung eines Koordinaten Systems gezeichnet. Er schneidet dann also die Punkte (1/1), (0/1), (-1/0) und (-1/-1).
• Um Näherungswerte für trigonometrische Werte wie Sinus und Cosinus zu finden, wird der Radius des Kreises mehrfach in bestimmten wechselnden Winkeln zur x-Achse eingezeichnet. Sie zeichnen zum Beispiel den Radius im Winkel 20° ein.
• Als nächsten Fällen Sie das Lot auf die x-Achse und die y-Achse. Sie zeichnen also die Koordinaten des Punktes S auf der Kreislinie ein, der gefunden wird, wenn der freie Schenkel des Winkels den Kreisbogen schneidet.
• Die trigonometrischen Funktionen sind Verhältnisse zwischen Dreiecksstrecken. Betrachten Sie sich den Schnittpunkt X des Lotes vom Kreispunkt mit der x-Achse, den Ursprung und diesen Schnittpunkt S. Diese 3 Punkte spannen ein rechtwinkliges Dreieck auf, dass die Hypotenuse r = 1 hat und die Ankathete  0X = x-Koordinate des Punktes und der Gegenkathete XS = y-Koordinate des Punktes S. Die Kathetenbezeichnung orientiert sich am Winkel Alpha.
• Laut Definition ist Sinus Alpha = Gegenkathete/Hypotenuse. In dem Fall ist es also die Strecke XS zu r. Demnach gilt also, dass sin Alpha = y/r = y ist. Entsprechend ist cos Alpha = x.

Näherungswerte für trigonometrische Funktionen finden

1. Zeichnen Sie einen Einheitskreis auf Millimeterpapier.
2. Tragen Sie den gesuchten Winkel Alpha in (0/0) an der x-Achse an.
3. Markieren Sie den Schnittpunkt S mit dem Einheitskreis.
4. Fällen Sie das Lot zur y-Achse. Lesen Sie den entsprechenden y-Wert dort ab. Sie haben den Näherungswert für sin Alpha gefunden.
5. Den Wert für cos Alpha finden Sie in dem Sie das Lot auf die x-Achse fällen und den x-Wert ablesen.

Sie können diese Näherungswerte auch auf ein Koordinatensystem übertragen, bei dem auf der x-Achse die Winkel markiert werden und auf der y-Achse die entsprechenden Werte von Sinus bzw. Kosinus.

Näherung von Pi

1. Der Einheitskreis hat den Flächeninhalt Pi r². Da r 1 ist, ist der Flächeninhalt dieses Kreises als Pi.
2. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Kreises nun, in dem Sie ihn in kleine Rechtecke zerlegen und deren Flächeninhalte aufaddieren.