Textaufgabe zur Parabel - am Beispiel ausführlich berechnet

Hochsprung - eine besondere Parabel

Bevor Sie sich der Mathematik zuwenden, ein paar (physikalische) Bemerkungen zu dieser Textaufgabe, die die Bearbeitung erleichtern:

• Physikalisch gesehen entspricht das "Springen" einem "Werfen des eigenen Körpers", vereinfacht des Körperschwerpunktes.
• Nach dem Absprung gehorcht der Schwerpunkt den Gesetzen des schiefen Wurfs, ähnlich einem Ballwurf. Seine Flugbahn ist dann eine Parabel, wenn man den (unweigerlichen) Luftwiderstand vernachlässigt.
• Beim Überfliegen der Latte sollte der Körperschwerpunkt selbstredend möglichst tief hängen. Gerade der 1968 vorgeführte sog. Fosbury-Flop ist hier extrem erfolgreich: kaum ein Sportler springt heute noch anders.
• Bei einem guten Sprung liegt der Scheitel der Sprungparabel (das ist der höchste Punkt der umgekehrten Parabel) genau über der Latte. Springer vergeben wertvolle Zentimeter, wenn Sie zu nah oder zu weit über die Latte springen.
• Wichtige Größen für die Berechnung der Sprungparabel sind die Absprunghöhe (also die Lage des Körperschwerpunktes) k, die Absprungdistanz s (horizontaler Abstand von der Latte) sowie die Überhöhung ü, die ein Springer gegenüber der Latte einhalten muss.
• Die Absprunghöhe k ist im Wesentlichen durch die Körpermaße des Springers bestimmt. Als Faustformel gilt k = 0,6 x Körpergröße. 
• Die Überhöhung ü hängt von der Sprungtechnik ab. Beim Rollsprung beträgt sie etwa 10 cm, beim Fosbury-Flop jedoch nur etwa 5 cm.

Textaufgabe zum Hochsprung - ausführlich berechnet

Nach diesen einführenden Bemerkungen zum Hochsprung zur Textaufgabe, bei der die Parabel eines Springer berechnet werden soll:

1. Berechnen Sie die Gleichung der Sprungparabel (für den Schwerpunkt des Springers auf), wenn eine Sprunghöhe von h = 2,40 m erreicht wird. Der Springer habe eine Größe von 1,90 m  und springe etwa s = 0,8 m vor der Latte ab (Die Absprungpunkte liegen etwa eine Armlänge von der Latte entfernt, manchmal mehr. Die einzelnen Springer ermitteln Ihren perfekten Punkt meist selbst).
2. Zunächst fertigen Sie von der Situation eine Skizze an. Dabei wählen Sie als Sprungparabel eine nach unten geöffnete Parabel. Die Latte liege in der Höhe h über dem Ursprung; der Springer starte im negativen x-Bereich bei den Koordinaten  K (-s/k). Dort befindet sich der Körperschwerpunkt des Springers. In der Textaufgabe gilt K (-0,8/1,14). Benutzt wurde die Faustformel für k.
3. Der Scheitel der Parabel liegt dementsprechend auf der y-Achse und hat die Koordinaten S(0/h+ü) = (0/2,45) wegen der Überhöhung.
4. Die Gleichung für diese Parabel können Sie mit y = -ax² + c ansetzen, da es sich um ein symmetrisches Problem handelt (der bx-Term entfällt also bei der Funktionsgleichung).
5. Die Parabel haben Sie dann gefunden, wenn Sie die beiden Koeffizienten a und c aus den Daten berechnet haben. 
6. Sie benötigen dementsprechend 2 Bedingungen oder 2 Punkte dieser Parabel: den Scheitel S, sowie den Absprungpunkt K.
7. Die x- und y-Koordinaten der beiden Punkte werden nun nacheinander in die Funktionsgleichung der Parabel eingesetzt, wodurch sich zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten a und c ergeben.
8. Für K: 1,14 = - 0,64a + c
9. Für S: 2,45 = c (wegen x = 0 fällt der erste Term weg).
10. Setzen Sie nun c = 2,45 in die erste der beiden Gleichungen ein, so erhalten Sie 1,14 = -0,64 a + 2,45. Hieraus berechnen Sie a = 2,05.
11. Die Gleichung der gesuchten Parabel aus dieser Textaufhabe lautet also: y = - 2,05x² + 2,45.

Stellen Sie doch einmal Ihre persönliche Sprungparabel nach diesem Muster auf.