Scheitelgleichung ausrechnen - so geht's

Scheitelgleichung - was ist das?

• Hat man eine allgemeine quadratische Funktion der Form f(x) = ax²+bx+c gegeben, dann ist deren Graph immer eine Parabel. Die Parameter a, b, c bestimmen dabei die Lage der Parabel im Koordinatensystem, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist und wie breit die Öffnung ist.
• Man kann allerdings auch jede allgemeine quadratische Funktion durch eine Scheitelgleichung der Form f(x) = a(x-d)²+e angeben. Hierfür formt man die Funktion f(x) = ax²+bx+c durch quadratische Ergänzung um, bis man zur Scheitelgleichung gelangt. Dies ist bei jeder allgemeinen quadratischen Funktion möglich.
• Die Scheitelgleichung hat den Vorteil, dass man sofort den Scheitel, den einzigen Extrempunkt der Funktion, ablesen kann. Der Scheitel liegt bei S(d|e).

Von der quadratischen Funktion zur Scheitelgleichung

1. Machen Sie hierzu am besten ein Beispiel. Nehmen Sie an, Sie haben die Funktion f(x) = 4x²+6x+24 gegeben und möchten für diese Funktion die Scheitelgleichung bestimmen.
2. Wenn Sie sich nochmals die binomischen Formeln näher ansehen, dann werden Sie schnell feststellen, dass Sie für die quadratische Ergänzung die erste binomische Formel benötigen werden. Das sehen Sie am positiven Vorzeichen des Mischterms (hier: +6x). Diese hat die Form (a+b)²=a²+2ab+b².
3. Zunächst müssen Sie die Funktion allerdings durch 4 teilen, damit Sie später den gewünschten Ausdruck erhalten. Es gilt also: f(x)/4 = x²+1,5x+6. Das a² entspricht also dem x² im Beispiel, d. h. a = x.
4. Der Mischterm 2ab entspricht den 1,5x und a haben Sie bereits berechnet, also gilt: 1,5x = 2ab = 2xb <=> b = 3/4. Das bedeutet damit b² = 9/16.
5. In diesem Beispiel steht allerdings nicht 9/16 für c, sondern 6. Dies können Sie durch einen einfachen Trick umgehen. Addieren Sie einfach 9/16 und ziehen Sie 9/16 wieder ab, so haben Sie in Summe nichts verändert.
6. Dies führt zu: x²+1,5x+(9/16-9/16)+6 = x²+1,5x+9/16+(6-9/16) = (x+3/4)²+87/16.
7. Da Sie zu Beginn durch 4 geteilt haben, müssen Sie nun diesen Ausdruck wieder mit 4 multiplizieren und Sie sind am Ziel. Es gilt also: f(x) = 4x²+6x+24 = 4(x+3/4)²+87/4. Der Scheitel liegt bei S(-3/4|87/4).

Sie sehen, es ist nicht schwer, für beliebige quadratische Funktionen die Scheitelgleichung zu bestimmen. Sie müssen lediglich die binomischen Formeln wissen und sich an die obige Anleitung halten.