Sinus aufleiten - so bestimmten Sie die Stammfunktion

Aufleiten einfacher Funktionen

Wenn Sie die Stammfunktion einer Funktion bilden wollen, können Sie auf gängige Regeln zurückgreifen.

• Für ganzrationale Funktionen f(x) brauchen Sie zunächst lediglich den Exponenten von x um einen Wert erhöhen. Wenn Sie zum Beispiel die Grundfunktion f(x) = x³ haben, müssen Sie den Exponenten "3" um eins erhöhen, sodass die Stammfunktion zunächst F(x) = x⁴ ist.
• Zudem müssen Sie den neuen Exponenten noch in den Nenner eines Bruchs schreiben, bei dem der Faktor, der vor x steht, im Zähler ist. Für die oben angegebene Grundunktion wäre der Faktor "1" und der neue Exponent "4", weshalb die vollständige Stammfunktion F(x) = 1/4 x⁴ ist. Sollte der Faktor bspw. "3" sein, also die Grundfunktion f(x) = 3x³ lauten, wäre die Stammfunktion F(x) = 3/4 x⁴.
• Zudem werden Stammfunktionen grundsätzlich um einen Summanden C erweitert. Dies hat den Sinn, dass die Zahl ohne x beim Ableiten entfällt und es deshalb mehrere Stammfunktionen für eine Grundfunktion gibt. So wären zum Beispiel F(x) = 1/4 x⁴ +1 oder F(x) = 1/4 x⁴ + 2 beides Stammfunktionen der Funktion f(x) = x³. 
• Die vollständige der Stammfunktion wäre damit F(x) = 1/4 x⁴ + C.

Stammfunktion von Sinus- und Cosinus-Funktionen

Auch beim Aufleiten von trigonometrischen Funktionen gibt es einfache Regeln, mit der Sie schnell und einfach die Stammfunktion bilden können.

• Dabei werden die Ableitungsregeln von Sinus und Cosinus einfach umgekehrt.
• Das heißt, aus einem positiven Sinus wird ein negativer Cosinus und aus einem positiven Cosinus wird ein positiver Sinus.
• Demnach wäre von der Sinus-Grundfunktion f(x) = sin x die Stammfunktion F(x) = -cos x +C bzw. bei Cosinus-Grundfunktion f(x) cos x die Stammfunktion F(x) = sin x +C.
• Sollten Sie eine trigonometrische Funktion mit einer zusätzlichen Funktion haben, also zum Beispiel f(x) = x³ + sin(x), dann können Sie beim Aufleiten beide Vorgehensweisen anwenden.
• Zunächst berechnen Sie die Stammfunktion der ersten Teilfunktion (x³) und der zweiten Teilfunktion (sin(x)). Danach fügen Sie beide Stammfunktionen zusammen.
• Die erste Stammfunktion wäre 1/4 x⁴  und die zweite -cos(x), so dass die vollständige Stammfunktion F(x) = 1/4 x⁴ - cos(x) + C wäre.