Satz des Cavalieri - Informatives

Satz des Cavalieri - das sagt er aus

• Francesco Cavalieri war ein italienischer Mathematiker und Astronom des 16. Jahrhunderts. Als Professor von Bologna befasste er sich mit der Untersuchung von Kurven, Flächen und Volumina. Auf diese Arbeiten ist sein Cavalierisches Prinzip zurückzuführen.
• Der Satz macht Aussagen über die Volumina, also die Rauminhalte beliebiger Körper, egal ob mit geraden oder gekrümmten Begrenzungsflächen. Er stellt somit eine hilfreiche Verallgemeinerung vieler anderer Formeln zur Berechnung von Rauminhalten dar.
• Kernaussage des Satzes von Cavalieri ist die folgende: Werden (geometrische) Körper von den gleichen Grundflächen begrenzt und haben sie in diesen Flächen und in jeder (!) hierzu parallelen Fläche den gleichen Flächenquerschnitt, dann sind auch ihre Volumina gleich.

Eine Handlungsanweisung ist nötig

Zugegeben, die mathematische Formulierung des Cavalierischen Prinzips ist nicht leicht zu verstehen. Aber wie kann man prüfen, ob wirklich zwei gegebene Körper den gleichen Rauminhalt haben?

1. Zunächst prüfen Sie, ob die beiden Körper die gleiche Höhe haben. Dies ist ein besonders einfacher Fall für die Anwendung des Satzes.
2. Nun legen Sie parallel zur Grundfläche der beiden Körper in gleichen Abständen Schnitte durch diese. Sie erhalten eine Anzahl von Schnittflächen bzw. Querschnittsflächen.
3. Jetzt müssen Sie prüfen, ob diese Querschnittsflächen gleich groß sind, auf die Form der einzelnen Querschnittsflächen kommt es dabei gar nicht an, nur auf die Größe. Bei Flächengleichheit haben die beiden Körper dann das gleiche Volumen.

Eine einfache Anwendung

• Cavalieris Satz gilt im Prinzip für alle möglichen Körper, also auch für Körper, deren Begrenzung nicht plane Ebenen, sondern "irgendwelche" gekrümmten Flächen darstellen, wie es beispielsweise bei einer verbogenen Dose oder einer eingedellten Flasche vorkommen kann (Inhaltsgleichheit vorausgesetzt!).
• Ein besonders einfaches und verständliches Beispiel für die Anwendung des Satzes sind einfache geometrische Körper wie Zylinder (Säulen), Quader oder auch Prismen (Toblerone). So kann beispielsweise das Volumen eines Quaders genauso groß wie das Volumen eines Zylinders sein.
• Bedingung nach dem Satz von Cavalieri ist, dass die Höhe der beiden Körper gleich ist und dass kreis- und die rechteckigen Querschnittsflächen, die man an jeder beliebigen Stelle erhält, ebenfalls gleich groß sind. Gleiches gilt natürlich für ein Prisma, das ein Dreieck oder auch ein Fünf- bzw. Sechseck als Grundfläche haben kann.