Aus einem zylindrischen Baumstamm... - Maximalwertberechnung

Was sind Extremwertaufgaben?

Egal, ob Sie diese Art Aufgaben nun Extremwertaufgaben, Maximalwertberechnungen oder einfach Optimierungsproblem nennen, immer soll bei einem vorgegebenen Sachverhalt eine Größe - sei es die Fläche, das Volumen oder auch der Durchfluss oder die Tragfähigkeit - möglichst groß, also maximal werden. Die Vorgehensweise ist vom Prinzip her die immer die gleiche:

1. In den meisten Fällen sollten Sie zu der Aufgabe eine kurze Skizze anfertigen, um sich einen Überblick zu verschaffen. Je nach Sachlage können Sie dort schon Längen oder andere Größen eintragen.
2. Nun stellen Sie die sog. Zielfunktion auf, das ist die Größe, die in der Aufgabe maximal (oder manchmal auch minimal) sein soll. Dies könnte beispielsweise die Fläche, das Volumen oder auch der Winkel sein. Lesen Sie sich den Text dazu gut durch.
3. Meist enthält diese Zielfunktion mehr als eine Unbekannte, im Allgemeinen sind dies zwei Werte, von denen sie abhängt, so zum Beispiel die Breite und die Länge einer Fläche.
4. Um eine dieser beiden Unbekannten zu ersetzen, müssen Sie aus der Aufgabe die sog. Nebenbedingung formulieren. Hier geht sozusagen das Gegebene ein. Dies kann ein Radius, eine Höhe oder vielleicht sogar eine vorgegebene Fläche sein. Auch hier müssen Sie die Aufgabe genau anschauen, denn oft ergibt sich die Nebenbedingung erst durch die Größen in der Zeichnung, so wie im Beispiel unten.
5. Nun lösen Sie die Nebenbedingung nach einer der beiden Unbekannten auf. Wählen Sie die Größe, die leichter zu berechnen ist.
6. Diese Größe setzen Sie nun in die Zielfunktion ein, die dann nur noch von einer Unbekannten (Sie können diese getrost "x" nennen) abhängt.
7. Für diese Zielfunktion suchen Sie einen Maximalwert oder allgemein den oder die Extremwerte - die Ableitung muss also gebildet werden.
8. Leiten Sie die Zielfunktion nach der Unbekannten ab und setzen Sie die Ableitung = 0, die Bedingung für einen Extremwert.
9. Berechnen Sie die Unbekannte aus dieser Gleichung. Bei mehreren Lösungen müssen Sie noch überprüfen, ob es tatsächlich ein Maximum (bzw. ein Minimum) ist (2. Ableitung).
10. In vielen Aufgaben muss auch noch die andere Unbekannte bestimmt werden. Die Gleichung hierfür kennen Sie ja aus der Nebenbedingung.

"Aus einem zylindrischen Baumstamm" - ein Beispiel

Aus einem zylindrischen Baumstamm (dieser hat also einen kreisförmigen Querschnitt) mit einem Durchmesser d = 30 cm soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt gesägt werden, und zwar so, dass er eine möglichst hohe Tragfähigkeit hat.

1. Zunächst einmal fertigen Sie eine Zeichnung an, in die Sie auch den Durchmesser des Balkens sowie das Rechteck einzeichnen. Sie benötigen hier übrigens keine dreidimensionale Darstellung; ein Schnitt quer durch den Balken genügt. 
2. Nun bezeichnen Sie beispielsweise die Breite des Querschnitts mit x und die Höhe des eingezeichneten Rechtecks mit y. Man erkennt, dass der Durchmesser d die Diagonale in diesem Rechteck sein muss (gut merken!). 
3. Für die Tragfähigkeit gilt nun, dass diese proportional zur Breite (x) und zum Quadrat der Höhe (y²) ist. Diesen Sachverhalt kann man im Internet oder auch in einem Technikbuch nachlesen (eine "Klippe" in dieser Aufgabe, leider!).
4. Diese Tragfähigkeit soll maximal werden, sie ist also Ihre Zielfunktion und kann mit T(x,y) = x _* y² angesetzt werden (einen nötigen Proportionalitätsfaktor können Sie getrost weglassen).
5. Nun benötigen Sie die Nebenbedingung, in die die vorgegebene Größe (hier "d") eingeht. Ein Blick auf Ihre Zeichnung zeigt x² + y² = d² (Pythagoras). Und Sie erhalten y² = d² - x². Diese Beziehung setzen Sie nun die Zielfunktion ein.
6. Sie erhalten: T(x) = x _* (d² - x²) = d²x - x³; die Zielfunktion hängt nur noch von der Unbekannten "x" ab und kann differenziert werden: T'(x) = d² - 3x².
7. Sie suchen den Extremwert, also d² - 3x² = 0 und x = d/√3 = 30 cm/√3 ≈ 17,32 cm (2 Stellen hinter dem Komma genügen hier), die Breite des Querschnitts. Die negative Wurzel brauchen Sie hier nicht zu beachten.
8. Die Höhe y erhalten Sie aus y² = d² - x² zu y = 24,5 cm. Aufgabe gelöst!

Sie müssen aus dem zylindrischen Baumstamm also ein Rechteck der Breite 17,32 cm sowie der Höhe 24,5 cm aussägen.