Konkav und konvex verständlich erklären

Was heißt konkav?

Das Adjektiv “konkav” leitet sich vom lateinischen Wort “concavus” ab, was so viel bedeutet wie “hohl” oder “nach innen gewölbt”. Brillengläser mit einer derartigen Krümmung werden zum Ausgleichen einer Kurzsichtigkeit eingesetzt. Sie werden daher auch als Minusgläser bezeichnet. In der Mathematik ist ein Graph, der an einer bestimmten Stelle konkav ist in dem damit beschriebenen Abschnitt nach rechts gekrümmt.

Was bedeutet konvex?

Konvex ist das Gegenteil von konkav und leitet sich vom lateinischen “convexus” ab. Hier ist etwas nach außen gewölbt. Konvexe Brillengläser, auch Plusgläser genannt, werden verwendet, um eine Weitsichtigkeit zu korrigieren. In der Mathematik sind Graphen, die konvex sind, in dem entsprechenden Bereich nach links gekrümmt.

Was beschreibt konkav und konvex in der Physik?

Besonders im Teilgebiet Optik, das zur Physik gehört, spielen die beiden Begriffe eine wichtige Rolle. Hier wird die Rundung von Linsen oder Spiegeln damit bezeichnet. So kann eine optische Linse, wie sie beispielsweise in Brillen zu finden ist, nur dann ihren Zweck erfüllen, wenn ihre Oberfläche die passende Wölbung hat. Die Stärke der Krümmung kann sowohl für Spiegel als auch für Linsen unterschiedlich sein. Manche sind stark gekrümmt, andere eher unmerklich. Trotzdem lassen sich zwei grundlegende Arten von Krümmungen unterscheiden.

Bei einem sogenannten Hohlspiegel etwa, geht die Krümmung nach innen, sie ist konkav. Man könnte also etwas in den Spiegel hineinlegen oder -schütten, ohne dass es direkt wieder herausfällt oder -fließt. Es gibt auch Linsen mit einer derartigen Krümmung. Diese werden auch Zerstreuungslinsen genannt, da die einfallenden Lichtstrahlen durch eine solche Linse gebrochen und zerstreut werden.

Das Gegenstück zu einem Hohlspiegel ist der Wölbspiegel. Bei diesen geht die Krümmung nach außen. Beim Versuch, in einen solchen Spiegel etwas hinein zu kippen, würde die Flüssigkeit umgehend herunterlaufen. Das beste Beispiel für einen konvexen Spiegel finden Sie an einem Weihnachtsbaum - die Weihnachtskugel.

Bei Linsen ist oft auch von “plankonvex” oder “plankonkav” die Rede. Hier ist die eine Linsenseite eben, also plan, die andere konvex bzw. konkav. Linsen müssen nicht zwingend auf beiden Seiten gleich aussehen.

Welche Rolle spielen konkav und konvex in der Mathematik?

Auch in der Mathematik kommen die Begriffe konkav und konvex vor. Der Graph einer mathematischen Funktion ist in Bereichen, in denen er nach rechts gekrümmt ist, konkav. Hier nimmt die Steigung immer weiter ab. War die Steigung des Graphen vorher also positiv, wird der Graph in diesem Bereich erst immer flacher, bis hin zu einem Steigungswechsel, nach dem er anschließend fällt.  

Ist der Graph in einem Bereich konvex, also nach links gekrümmt, nimmt hier die Steigung immer weiter zu. War die Steigung vorher negativ, so wird der Graph auch hier bis hin zu einem Steigungswechsel immer flacher. Anschließend steigt er kontinuierlich.

Um festzustellen, ob ein Funktionsgraph im zu bestimmenden Bereich konkav oder konvex ist, kann die 2. Ableitung genutzt werden, da diese die Steigung der 1. Ableitungsfunktion beschreibt. Hierbei gilt:

• f’’ (x) > 0 → streng konvex
• f’’ (x) >= 0 → konvex
• f’’ (x) = 0 → konvex und konkav
• f’’ (x) <= 0 → konkav
• f’’ (x) < 0 → streng konkav

Eselsbrücken für den Unterschied zwischen konkav und konvex

Um sich den Unterschied zwischen konkav und konvex zu merken, hilft eine Eselsbrücke, wie beispielsweise:

Trink dein Bier auf ex, dann wird dein Bauch konvex.

Wo die Kugel traf - da ist konkav.

War das Mädchen brav, ist der Bauch konkav. Hatte das Mädchen Sex, ist der Bauch konvex.