Komplexe Zahlen - wie Sie mit ihnen rechnen

Was sind komplexe Zahlen?

Komplexe Zahlen sind ein faszinierender Teil der Mathematik, der oft in den höheren Schuljahren oder im Studium behandelt wird. Sie spielen eine entscheidende Rolle in verschiedenen mathematischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen. Nachfolgend schauen wir uns an, wie die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division für komplexe Zahlen funktionieren.

Komplexe Zahlen wurden im 16. Jahrhundert entwickelt und sind seitdem eine bedeutende Erweiterung der Zahlenwelt. Sie sind eine Erweiterung der bekannten reellen Zahlen und spielen eine entscheidende Rolle in der Mathematik, Ingenieurwissenschaften, Physik und vielen anderen wissenschaftlichen Disziplinen.

Die komplexe Zahlenebene wird durch die Einführung der imaginären Einheit "i" erweitert. Die imaginäre Einheit i wird definiert als die Quadratwurzel von -1. Mathematisch ausgedrückt: i = √(-1). Dies mag auf den ersten Blick seltsam erscheinen, da wir wissen, dass die Quadratwurzel einer negativen Zahl im Bereich der reellen Zahlen nicht existiert. Doch mit der Einführung von i erweitern wir unsere Zahlensysteme, um neue mathematische Möglichkeiten zu eröffnen.

Die Form einer komplexen Zahl

Eine komplexe Zahl hat eine einzigartige Form, die aus einem Realteil und einem Imaginärteil besteht. Die allgemeine Form einer komplexen Zahl "z" lautet:

• z = a + bi: "a" ist der Realteil der komplexen Zahl. "b" ist der Imaginärteil der komplexen Zahl. "i" ist die imaginäre Einheit.
• So können komplexe Zahlen aussehen: 3 + 4i; -2 - i; 0 + 7i (oft als "7i" geschrieben, wobei der Realteil gleich 0 ist)

Um komplexe Zahlen graphisch darzustellen, verwenden wir die sogenannte komplexe Zahlenebene. Diese Ebene ist ein zweidimensionales Koordinatensystem, bei dem die reellen Zahlen auf der horizontalen Achse und die imaginären Zahlen auf der vertikalen Achse liegen. Jeder Punkt in dieser Ebene entspricht einer komplexen Zahl.

Nun stellt sich die Frage, wie man mit komplexen Zahlen rechnet. Die Grundrechenarten, nämlich Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, sind auch für komplexe Zahlen definiert. Diese Operationen werden unter Berücksichtigung sowohl des Realteils als auch des Imaginärteils durchgeführt.

So rechnet man mit komplexen Zahlen

Das Rechnen mit komplexen Zahlen erfordert die Einbeziehung von Real- und Imaginärteilen. Komplexe Zahlen sind in der Form z = a + bi gegeben, wobei "a" der Realteil und "b" der Imaginärteil ist. Um mit komplexen Zahlen zu rechnen, können die vier grundlegenden mathematischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) angewendet werden. Mit unserer ausführlichen Schritt-für-Schritt-Anleitung schaffen Sie es im Nu auch mit komplexen Zahlen zu rechnen:

Addition von komplexen Zahlen

1. Notation verstehen: Nehmen wir zwei komplexe Zahlen z1 = a1 + b1i und z2 = a2 + b2i an, die addiert werden sollen.
2. Realteile addieren: Addiere die Realteile a1 und a2: a = a1 + a2.
3. Imaginärteile addieren: Addiere die Imaginärteile b1i und b2i: bi = b1 + b2.
4. Ergebnis schreiben: Das Ergebnis der Addition ist die neue komplexe Zahl z = a + bi.
5. Beispiel: (3 + 2i) + (1 - 4i)
   Schritt 1: z1 = 3 + 2i und z2 = 1 - 4i
   Schritt 2: Realteile: a = 3 + 1 = 4
   Schritt 3: Imaginärteile: bi = 2 - 4 = -2
   Schritt 4: Ergebnis: z = 4 - 2i

Subtraktion von komplexen Zahlen

1. Notation verstehen: Nehmen wir wieder zwei komplexe Zahlen z1 = a1 + b1i und z2 = a2 + b2i an, die voneinander subtrahiert werden sollen.
2. Realteile subtrahieren: Subtrahiere die Realteile a2 von a1: a = a1 - a2.
3. Imaginärteile subtrahieren: Subtrahiere die Imaginärteile b2i von b1i: bi = b1 - b2.
4. Ergebnis schreiben: Das Ergebnis der Subtraktion ist die neue komplexe Zahl z = a + bi.
5. Beispiel: (5 - 3i) - (2 + 7i)
   Schritt 1: z1 = 5 - 3i und z2 = 2 + 7i
   Schritt 2: Realteile: a = 5 - 2 = 3
   Schritt 3: Imaginärteile: bi = -3 - 7 = -10
   Schritt 4: Ergebnis: z = 3 - 10i

Multiplikation von komplexen Zahlen

1. Notation verstehen: Wir haben wieder zwei komplexe Zahlen z1 = a1 + b1i und z2 = a2 + b2i, die miteinander multipliziert werden sollen.
2. Multiplikation ausführen: Verwende die folgende Formel für die Multiplikation von komplexen Zahlen: z = z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i
3. Ergebnis schreiben: Das Ergebnis der Multiplikation ist die neue komplexe Zahl z.
4. Beispiel: (2 + 3i) * (4 - 5i)
   Schritt 1: z1 = 2 + 3i und z2 = 4 - 5i
   Schritt 2: Verwende die Formel:z = (2 * 4 - 3 * (-5)) + (2 * (-5) + 3 * 4)iz = (8 + 15) + (-10 + 12)iz = 23 + 2i
   Schritt 3: Ergebnis: z = 23 + 2i

Division von komplexen Zahlen

1. Notation verstehen: Nehmen wir z1 = a1 + b1i und z2 = a2 + b2i an, die miteinander dividiert werden sollen.
2. Komplexe Konjugation verwenden: Um die Division durchzuführen, verwenden wir die komplexe Konjugation von z2: z2* = a2 - b2i.
3. Division durchführen: Verwende die folgende Formel für die Division von komplexen Zahlen: z = z1 / z2 = (z1 * z2*) / (z2 * z2*)
4. Ergebnis schreiben: Das Ergebnis der Division ist die neue komplexe Zahl z.
5. Beispiel: (6 - 2i) / (1 + 3i)
   Schritt 1: z1 = 6 - 2i und z2 = 1 + 3i
   Schritt 2: Komplexe Konjugation: z2* = 1 - 3i
   Schritt 3: Division:z = (z1 * z2*) / (z2 * z2*) = ((6 - 2i)(1 - 3i)) / ((1 + 3i)(1 - 3i))
   z = (6 - 18i - 2i + 6i²) / (1 - 3i + 3i - 9i²)
   z = (6 - 20i - 2(-1)) / (1 - (-9))
   z = (8 - 20i) / 10z = (4 - 10i)/5
   Schritt 4: Ergebnis: z = (4 - 10i)/5

Komplexe Zahlen sind eine erstaunliche Erweiterung unseres mathematischen Repertoires. Sie ermöglichen die Darstellung und Lösung von Problemen, die mit reellen Zahlen allein nicht gelöst werden können. Durch die Kombination von Realteil und Imaginärteil bieten sie eine elegante Möglichkeit, komplexe mathematische Zusammenhänge zu beschreiben und zu verstehen, und sind daher ein unverzichtbares Werkzeug in der modernen Mathematik und Wissenschaft.