Eigenschaften einer Exponentialfunktion einfach erklärt

Die Exponentialfunktion rein mathematisch

• Die Exponentialfunktion ist eine Berechnung nach dem Muster f(x) = a hoch x. A muss dabei größer als null sein und darf auch nicht den Wert 1 haben. Für y ist jeder Wert, abgesehen von plus und minus, unendlich möglich.
• Der Graph dieser Funktion hat bei dem Wert x = 0 stets den Wert 1. Dieser Wert ist vom Wert a unabhängig.
• Ist die Basis a größer als 1, liegt eine Wachstumsfunktion vor. Der Graph steigt zunächst langsam und dann immer schneller. Auch wenn die Zeichnung schon eine senkrechte Linie zu sein scheint, kann ein noch schnelleres Wachstum für größere x-Werte dargestellt werden.
• Ist die Basis kleiner als 1, ist die Funktion ein Verfallsprozess. Der Wert sinkt zunächst schnell, dann immer langsamer. Doch egal wie groß der Wert x eingesetzt wird, erreicht die Funktion doch nie den Wert null.

Die Eigenschaften von Wachstum und Verfall

• Eine bekannte Anekdote beschreibt die Exponentialfunktion 2 hoch x mithilfe von Reiskörnern. Auf einem Schachbrett soll auf jedem Feld die jeweils doppelte Anzahl an Reiskörnern ausgelegt werden.
• Da ein Reiskorn so klein ist, scheint die Aufgabe leicht möglich zu sein. In den ersten acht Feldern verdoppeln sich die Körner zu insgesamt einer kleinen Handvoll: Auf dem ersten 1 Korn, dann 2, dann 4, 8, 16, 32,64 und auf dem achten Feld 128 Reiskörner. In der zweiten Reihe verdoppeln sich dann diese Hände voll Reis zu einem kleinen Sack (128 Handvoll Reis). Nach der dritten von 8 Reihen im Schachbrett liegen dann bereits 128 Säcke Reis auf dem Feld, also eine stattliche Wagenladung. Schon beim halben Schachbrett ist mit 128 Wagenladungen ein großer Kornspeicher leer geräumt. Und der gesamte Kornspeicher voll Reis wirkt im Verhältnis zum Inhalt des letzten Feldes, wie das einzelne Reiskorn in diesem Speicher.
• Die Eigenschaften der Funktion wirken sich beim Verfall ähnlich überraschend aus: Wenn Sie immer die Hälfte einer großen Menge entnehmen, wird der Vorrat niemals vollständig getilgt sein. Sie kommen zwar im genannten Beispiel sehr schnell zum einzelnen Reiskorn, doch von dem entnehmen Sie auch wieder nur die Hälfte. Dann haben Sie ein viertel Reiskorn, nach der nächsten Runde ein Achtel, dann ein Sechzehntel und immer weiter. Aufgrund dieser Eigenschaften wird das Ende einer Verfallsfunktion in der Praxis auch stets durch eine Nachweisgrenze definiert.