Binomialverteilung: log - Hilfreiches

Was ist eine Binomialverteilung?

• Die Binomialverteilung ist eine Verteilungsart bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit ihr kann grafisch abgelesen werden, wie wahrscheinlich ein bestimmter Ausgang eines Experimentes bei mehrfacher Durchführung ist.
• Bei Bernoulliprozessen handelt es sich um Experimente, die nur zwei mögliche Ausgänge haben, "Erfolg" und "Misserfolg". Ein klassisches Beispiel ist hierfür der Wurf einer Münze.
• Eine Binomialverteilung ist bei p = 0, p = 1/2 und p=1 symmetrisch und besitzt die erzeugende Funktion g_x(s) = ( ps + (1-p))ⁿ .

Was ist der Logarithmus?

• Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion zum Potenzieren. Wenn also gilt a=b^x,bedeutet das, dass x = log_b(a) ist. Die Binomialverteilung ist eine Verteilungsart bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
• Soll der Logarithmus mit dem Taschenrechner berechnet werden, bietet es sich an, den dekadischen Logarithmus, auch lg abgekürzt, anzuwenden.
• Hier gilt, dass log_b(a) = lg(a) / lg(b) . Somit ist auch x= lg(a) / lg(b). Sprachlich ausgedrückt ist also die Potenz der Basis b der dekadische Logarithmus der Zahl a dividiert durch den dekadischen Logarithmus der Basis b.

Der Zusammenhang

• Besagt eine mathematische Aufgabe, dass berechnet werden soll, wie oft ein Bernoulli-Experiment durchgeführt werden muss, um eine bestimmte Gesamtwahrscheinlichkeit für insgesamt mindestens ein positives Ergebnis zu erhalten, so kann dies mit dem Logarithmus berechnet werden.
• Für die Berechnung werden nun aber die negativen Experimentausgänge betrachtet. Die Wahrscheinlichkeit für einen negativen Ausgang bei einfacher Durchführung liegt folglich bei 1-p. Dies entspricht der Basis b beim Potenzrechnen. x gibt hier die Anzahl der Durchgänge an und a die Wahrscheinlichkeit für ein negatives Ergebnis, die erreicht werden soll. Durch Einsetzen der Werte in die Logarithmusformel kann x berechnet werden.
• Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, mit einer Münze beim einmaligen Werfen das positive Ergebnis Kopf zu erhalten, liegt bei 50%. Damit liegt die Wahrscheinlichkeit für ein negatives Ergebnis ebenfalls bei 50%, wodurch b=0,5 ist.
• Nun wird gefragt, wie oft die Münze geworfen werden muss, um mit einer 90%igen Wahrscheinlichkeit mindestens einmal Kopf zu werden. Dies bedeutet, dass a = 1-0,9 = 0,1 ist.
• Aus der Formel ergibt sich nun x= lg(0,1)/lg(0,5) = 3,32. Da 3 Würfe eine zu geringe Wahrscheinlichkeit mit sich bringen würden, muss die Münze in diesem Beispiel 4-mal geworfen werden, um zu 90 % mindestens einmal Kopf zu werfen.