Stammfunktion, wenn x im Nenner steht - Hinweise

"x" im Nenner - so knacken Sie das Integral

• Für das Integral einer Potenzfunktion f(x) = xⁿ haben Sie eine Formel entwickelt bzw. kennengelernt. Es gilt für die Stammfunktion F(x) = 1/n+1 _* xⁿ+1. Mit dieser Formel können Sie die Stammfunktionen aller Potenzfunktionen, aber auch von ganzrationalen Funktionen berechnen.
• Diese Formel hat - wie bei der Ableitung auch - einen gewaltigen Vorteil, denn Sie gilt nicht nur für natürliche Zahlen als Exponent, sondern auch, wenn der Exponent eine ganze, eine rationale oder gar eine reelle Zahl ist, ausgenommen f(x) = 1/x - ein Spezialfall (siehe unten).
• Dementsprechend ist es möglich, Funktionen, bei denen die Unbekannte "x" als Potenz im Nenner auftritt, ebenfalls mithilfe dieser Formel zu integrieren. Sie müssen lediglich mithilfe der Potenzgesetze die Funktion als negative Potenz schreiben.
• Für f(x) = 1/x² = x^-2 erhalten Sie (n = -2 in der Formel einsetzen!) dementsprechend F(x) = 1/-1 _* x^-1 = -1/x. Sogar f(x) = 1/√x = x^-1/2 können Sie dementsprechend integrieren (n = -1/2) und erhalten F(x) = 2 _* x¹/2 = 2 _* √x.

Der Sonderfall 1/x und andere Tücken bei der Stammfunktion

• Die Funktion f(x) = 1/x = x^-1 ist ein Sonderfall, denn setzt man in der Formel für die Stammfunktion die n = -1 ein, so wird der Nenner des Koeffizienten 1/n+1 Null. Tatsächlich lässt sich dieses Integral mit der einfachen Formel nicht lösen. Die Stammfunktion lautet F(x) = ln x, der natürliche Logarithmus - diese Ausnahme muss man sich einfach merken.
• Komplizierter und nicht mehr mit einer einfachen Formel zu knacken sind natürlich zusammengesetzte Funktionen, bei denen "x" im Nenner erscheint. Beispielsweise benötigen Sie für die Integration von f(x) = x/(x² -1) oder f(x) = e^x/x weitere Integrationsregeln (Tipp: Integrationstafeln im Internet und in vielen Formelsammlungen helfen weiter). Und manche Funktionen lassen sich überhaupt nicht integrieren, sprich: Die Stammfunktion F(x) lässt sich nicht in geschlossener Form angeben.